The latest algorithm that we had to code in Algorithms 2 was the Knapsack problem which is as follows: The knapsack problem or rucksack problem is a problem in combinatorial optimization: Given a set of items, each with a weight and a value, determine the number of each item to include in a collection so that the total weight is less than or equal to a given limit and the total value is as large as possible. We did a slight variation on this in that you could only pick each item once, which is known as the 0-1 knapsack problem. In our case we were given an input file from which you could derive the size of the knapsack, the total number of items and the individual weights & values of each one. The pseudocode of the version of the algorithm which uses a 2D array as part of a dynamic programming solution is as follows: This version runs in O(nW) time and O(nW) space. This is the main body of my Ruby solution for that: This approach works reasonably well when and are small but in the second part of the problem was 500 and was 2,000,000 which means the 2D array would contain 1 billion entries.

If we’re storing integers of 4 bytes each in that data structure then the amount of memory required is 3.72GB – slightly too much for my machine to handle! Instead a better data structure would be one where we don’t have to allocate everything up front but can just fill it in as we go. In this case we can still use an array for the number of items but instead of storing another array in each slot we’ll use a dictionary/hash map instead. If we take a bottom up approach to this problem it seems like we end up solving a lot of sub problems which aren’t relevant to our final solution so I decided to try a top down recursive approach and this is what I ended up with:{ {} } }() 0 0 0[]>[-1][] [-1][](-1)[-1][](-1)+(--1) [-1][][]. The code is pretty similar to the previous version except we’re starting from the last item and working our way inwards. We end up storing 2,549,110 items in which we can work out by running this: If we’d used the 2D array that would mean we’d only populated 0.25% of the data structure, truly wasteful!

I wanted to do a little bit of profiling on how fast this algorithm ran in Ruby compared to JRuby and I also recently came across nailgun – which allows you to start up a persistent JVM and then run your code via that instead of starting a new one up each time – so I thought I could play around with that as well! The first run is a bit slow as the JVM gets launched but after that we get a marginal improvement. I thought the JVM startup time would be a bigger proportion of the running time but I guess not! I thought I’d try it out in Python as well because on one of the previous problems Isaiah had been able to write much faster versions in Python so I wanted to see if that’d be the case here too. This was the python solution:( 0 0) 0,=[](> [1])[1][] =(,,1)( [1])=(,,1)=(,,1)[1][] = (,)[1][],,= =(,,1)() The code is pretty much exactly the same as the Ruby version but interestingly it seems to run more quickly: I have no idea why that would be the case but it has been for all the algorithms we’ve written so far.

If anyone has any ideas I’d be intrigued to hear them!backpack expander steam market Ejemplo del problema de la mochila: dada una mochila con una capacidad de 15 kg que puedo llenar con cajas de distinto peso y valor, ¿qué cajas elijo de modo de maximizar mis ganancias y no exceder los 15 kg de peso permitidos?backpack 55x40x23cm En algoritmia, el problema de la mochila, comúnmente abreviado por KP (del inglés Knapsack problem) es un problema de optimización combinatoria, es decir, que busca la mejor solución entre un conjunto finito de posibles soluciones a un problema. backpack 26 coleraineModela una situación análoga al llenar una mochila, incapaz de soportar más de un peso determinado, con todo o parte de un conjunto de objetos, cada uno con un peso y valor específicos. mec backpack washing instructions

Los objetos colocados en la mochila deben maximizar el valor total sin exceder el peso máximo.case ih backpack sprayer El problema de la mochila es uno de los 21 problemas NP-completos de Richard Karp, establecidos por el informático teórico en un famoso artículo de 1972.hoeveel liter backpack nodig[1] Ha sido intensamente estudiado desde mediados del siglo XX y se hace referencia a él en el año 1897, en un artículo de George Mathews Ballard. Si bien la formulación del problema es sencilla, su resolución es más compleja. Algunos algoritmos existentes pueden resolverlo en la práctica para casos de un gran tamaño. Sin embargo, la estructura única del problema, y el hecho de que se presente como un subproblema de otros problemas más generales, lo convierten en un problema frecuente en la investigación.

A continuación se define formalmente el problema.[3] Supongamos que tenemos distintos tipos de ítems, que van del 1 al . De cada tipo de ítem se tienen ítems disponibles, donde es un entero positivo que cumple . Cada tipo de ítem i tiene un beneficio asociado dado por vi y un peso (o volumen) wi. Usualmente se asume que el beneficio y el peso no son negativos. Para simplificar la representación, se suele asumir que los ítems están listados en orden creciente según el peso (o volumen). Por otro lado se tiene una mochila, donde se pueden introducir los ítems, que soporta un peso máximo (o volumen máximo) W. El problema consiste en meter en la mochila ítems de tal forma que se maximice el valor de los ítems que contiene y siempre que no se supere el peso (o volumen) máximo que puede soportar la misma. La solución al problema vendrá dado por la secuencia de variables x1, x2, ..., xn donde el valor de xi indica cuantas copias se meterán en la mochila del tipo de ítem i.

El problema se puede expresar matemáticamente por medio del siguiente programa lineal: Si para se dice que se trata del problema de la mochila 0-1. Si uno o más es infinito entonces se dice que se trata del problema de la mochila no acotado también llamado a veces problema de la mochila entera. En otro caso se dice que se trata del problema de la mochila acotado Problema de la mochila simple Observar que en un problema de la mochila 0-1, si para cada tipo de ítem el beneficio y los pesos son idénticos (vi=wi), entonces el problema quedaría formulado de la siguiente forma Por tanto si existe un vector xi tal que , entonces esa será una solución al problema. Si existe una solución xi de este tipo, resolver el problema de la mochila realmente es resolver el problema de la suma de subconjuntos. Además si el conjunto de los pesos de los elementos es una secuencia supercreciente, es decir, se verifica que: Entonces se dice que se trata de un problema de la mochila simple o también problema de la mochila tramposa.

Este tipo de problemas tiene importantes aplicaciones en el mundo de la criptografía. Si en un problema de la mochila 0-1 los ítems están subdivididos en k clases, denotadas por Ni, y exactamente un ítem tienen que ser tomado de cada clase, entonces hablamos del problema de la mochila de múltiple elección. Si en un problema de la mochila 0-1 tenemos "n" ítems y m mochilas con capacidades Wi entonces tenemos el problema de la mochila múltiple Un caso especial del problema de la mochila múltiple es cuando los beneficios son iguales a los pesos y todas las mochilas tienen la misma capacidad. Entonces se le llama problema de la múltiple suma de subconjuntos. Este problema se ha resuelto tradicionalmente mediante programación lineal entera. El hecho de que se trate de programación lineal hace referencia a que la función a optimizar y las inecuaciones que constituyen las restricciones han de ser lineales, es decir, han de ser funciones cuyas incógnitas estén elevadas exclusivamente a la unidad.

Existe otra forma de resolver este tipo de problema, a través de los denominados algoritmos voraces. Una aproximación voraz consiste en que cada elemento a considerar se evalúa una única vez, siendo descartado o seleccionado, de tal forma que si es seleccionado forma parte de la solución, y si es descartado, no forma parte de la solución ni volverá a ser considerado para la misma. Con este método no siempre es posible dar una solución a un problema. Otro sistema para resolver el problema de la mochila es mediante algoritmos genéticos que son métodos de optimización que tratan de hallar tales que sea máximo. Partimos de la formulación del problema de la mochila aportada anteriormente: La utilización de un algoritmo voraz consiste en introducir en la mochila según orden decreciente de utilidad (beneficio) los diversos objetos. En una primera etapa, se adicionarán unidades enteras hasta que, por motivo de capacidad, no sea posible seguir introduciendo enteros y haya que añadir la porción que quepa del siguiente objeto.

b) Concepto de solución óptima: Teorema: si se ordenan los objetos de forma decreciente en cuanto a su relación (utilidad/ponderación = bi/ci), y se introducen en la mochila enteros en este orden mientras quepan, y cuando no quede capacidad para uno entero se añade la porción que aún tenga cabida, el resultado al que se llega es una solución óptima. Consisten en métodos adaptativos de optimización que tratan de hallar (xi,...,xn) tales que [Sumatoria (bi*xi) desde i= 1 hasta n] sea máximo. Pueden usarse para resolver problemas de búsqueda y optimización. Se basan en el proceso genético de los organismos vivos, por imitación de este proceso, los Algoritmos Genéticos son capaces de ir creando soluciones para problemas del mundo real. La evolución de dichas soluciones hacia valores óptimos del problema depende en buena medida de una adecuada codificación de las mismas. Para utilizar un algoritmo genético hacen falta tres elementos: ↑ Richard M. Karp (1972).